Das Unendliche ist nur ein Wort – oder irren die Mathematiker womöglich?

Am 23.Jänner 1862 wurde im ostpreußischen Königsberg David Hilbert geboren. Schon zu Lebzeiten erwarb er sich den Ruf eines herausragenden Mathematikers. In der Algebra, der Zahlentheorie, der Geometrie, der Analysis, der mathematischen Physik, namentlich bei der Allgemeinen Relativitätstheorie, leistete er Beeindruckendes.

Anlässlich eines Kongresses hielt Hilbert im Jahre 1900 in Paris ein Grundsatzreferat. Er benannte darin die seiner Meinung nach 23 wichtigsten mathematischen Probleme, von denen man im neu anbrechenden 20.Jahrhundert eine Lösung erwarten dürfe. Tatsächlich wurden die meisten dieser Aufgaben gelöst, doch nicht immer so, wie es Hilbert erwartet hatte. Das zweite Problem seiner Liste ist ein Beispiel dafür: Grob gesprochen verlangte er darin, einen Beweis zu führen, dass die Mathematik keine Widersprüche zulässt.

Dem Laien scheint das banal: Nichts empfindet er sicherer als das Rechnen mit Zahlen. Das stimmt auch. Jedoch treten dann Schwierigkeiten zutage, wenn das Unendliche mit ins Spiel kommt. Hier stolpert man auf Schritt und Tritt über Paradoxien. Galilei wunderte sich schon: Es gibt unendlich viele Quadratzahlen; es gibt genauso viele, nämlich unendlich viele Zahlen, aber nur wenige Zahlen sind Quadratzahlen – wie geht das?

Pascal argwöhnte, „unendlich“ könne keine Zahl sein: Es ist nicht gerade, denn dann wäre es um 1 vermehrt ungerade, aber immer noch „unendlich“. Und ungerade ist es aus dem gleichen Grund auch nicht. „Paradoxien des Unendlichen“, so nannte Bolzano sein vor Hilbert geschriebenes Buch. Und noch Verwirrenderes findet Cantor bei unendlichen Mengen.

Die Lösung, so meinte Hilbert, bestehe darin, den Begriff des Unendlichen zu „zähmen“: ein Sprachspiel, einen Kalkül von Worten mit einem formalen Regelwerk zu entwerfen, in dem akribisch genau der Gebrauch des Wortes „unendlich“ festgelegt wird, ohne dass man sich darunter etwas intuitiv vorstellen dürfe. Tatsächlich haben Hilberts Schüler einen solchen Kalkül entworfen. Aber Kurt Gödel zeigte, dass ein Beweis seiner Widerspruchsfreiheit nie gelingen würde.

Vom Unendlichen, ja von Zahlen überhaupt zu sprechen ist Hilbert zufolge eine bloße Façon de parler – ähnlich wie eine Dame im Schachspiel, aller weiblichen Züge beraubt, nichts anderes als eine wertlose Figur auf dem Schachbrett ist. Und wie Bauern und Könige im Schach weder Felder bestellen noch Länder regieren, sondern nur stumme Statisten, starre Steine in der Hand von Spielern sind, so ist es auch mit der modernen Mathematik bestellt: Ihre Kalküle handeln von nichtssagenden Zeichen, ihre Sätze beziehen sich auf nichts Wirkliches, ihre Probleme betreffen ein Denken, das autistisch um sich selbst kreist.

Nur eine verschwindend kleine Gruppe sogenannter konstruktiver Mathematiker überwindet das sinnlose Sprachspiel, indem sie, den eminenten Gelehrten Brouwer und Weyl folgend, die Mathematik bewusst der Dialektik zwischen dem naiven Ideal des absoluten Wahrheitsanspruchs und der abgeklärten Dekonstruktion aussetzt. Für die meisten Mathematiker jedoch ist mit der Botschaft, moderne Mathematik bestehe aus leerem Gerede, das letzte Wort gesprochen. Und es ist wundersam zu beobachten, wie sie sich in der ihnen verbliebenen Ruine wohlfühlen.

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("Die Presse", Print-Ausgabe, 19.01.2012)