Mathematik: Das Unberechenbare berechnen

10.03.2012 | 15:47 |  von Martin Kugler (Die Presse)

Wer glaubt, dass Mathematik eine abgeschlossene Wissenschaft ist, der ist auf dem Holzweg. Sowohl in der Grundlagenforschung als auch in der angewandten Mathematik gibt es noch unzählige ungelöste Probleme.

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Wie kann man Diabetes-Patienten davor bewahren, einen Zuckerschock zu erleiden, ohne ständig den Blutzuckerspiegel messen zu müssen? Wie kann man das Flimmern der Atmosphäre aus Teleskopbildern entfernen, um die Sterne wirklich scharf zu sehen? Wie kann man vorhersagen, ob eine Schutzschicht vor der Roheisenschmelze noch ausreichend dick ist, ohne in den Hochofen hineinschauen zu müssen (was nicht geht)? Und wie kann man aus Computertomografiebildern Bewegungen, etwa durch das Atmen, herausfiltern, damit ein Arzt eine Operation exakt planen kann?
Diese vier Probleme stammen aus völlig unterschiedlichen Gebieten. Sie haben aber dennoch eines gemeinsam: Sie sind ohne aufwendige mathematische Methoden nicht lösbar. Und diese gab es – da staunt der Laie – bis vor Kurzem noch nicht. Entwickelt wurden die neuen Verfahren von Mathematikern in Linz. Dort existiert seit Langem das Institut für Industriemathematik. Im Jahr 1996 gründete der damalige Leiter Heinz Engl (derzeit Rektor der Uni Wien) das Unternehmen „Math Consult“. Und 2003 kam noch das „Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics“ (Ricam) dazu – eine Einrichtung der Akademie der Wissenschaften (ÖAW).

Dieses Dreigestirn, das seit einigen Monaten auch in einem gemeinsamen Gebäude auf dem Linzer Uni-Campus sitzt, hat genug Manpower, um sich an wirklich schwere Probleme heranzuwagen – und sie auch zu knacken. Wobei Grundlagenforschung und angewandte Forschung kein Gegensatz sind. Im Gegenteil: „Anwendung von Forschung ist, wie wenn man einen Schwamm auspresst. Der Schwamm muss aber wieder aufgefüllt werden – und zwar durch Grundlagenforschung“, sagt Ulrich Langer, Mathematikprofessor an der Uni Linz und Leiter des Ricam. Zwischen Grundlagenforschung und Anwendung gibt es ein Wechselspiel. „Wir beziehen die Motivation für die Forschung aus anderen Wissenschaftsfeldern und der Industrie.“ Und viele der Ergebnisse „schreien“, so Langer, nach einer praktischen Anwendung – wofür das Ricam eine eigene Transfergruppe eingerichtet hat, die mittlerweile vier Patente hält.

Seinen Namen hat das Ricam von Johann Radon, einem österreichischen Mathematiker, der 1917 eine Methode – die „Radon-Transformation“ – veröffentlicht hat, ohne die ganze Bereiche der Technik undenkbar wäre: nämlich all jene, bei denen es um „inverse Probleme“ geht. Das bedeutet, dass man anhand von Auswirkungen eines Phänomens auf dessen Ursache schließen will. Ein Beispiel ist die Computertomografie, bei der aus Röntgenbildern die dreidimensionalen Strukturen im Körperinneren rekonstruiert werden. „Radon hatte nie eine Anwendung im Blick, er betrieb reine Grundlagenforschung“, erläutert Langer.

Wie sehr sich Grundlagenforschung und Anwendung gegenseitig befruchten, zeigt sich etwa bei „numerischen“ Lösungsverfahren – in der Fachsprache „computational mathematics“ genannt. „Fast alles, was uns umgibt, kann mit partiellen Differenzialgleichungen beschrieben werden“, erläutert der Grazer Mathematikprofessor und stellvertretende Ricam-Leiter Karl Kunisch. Als Differenzialgleichungen bezeichnet man mathematische Gleichungen, in denen gleichzeitig eine Größe und deren Änderung vorkommen. Das ist bei vielen Naturgesetzen der Fall, etwa bei den Newtonschen Bewegungsgleichungen, in der Quantenmechanik, in der Elektrotechnik, bei biologischen und ökonomischen Wachstumsvorgängen etc.

Mit Differenzialgleichungen kann man also viele Vorgänge mathematisch beschreiben („modellieren“). Die Sache hat aber einen Haken: Viele Differenzialgleichungen lassen sich nicht vollständig lösen. Es gibt allerdings Verfahren, mit denen man sie näherungsweise lösen kann: „numerische“ Methoden, bei denen man vereinfacht gesagt Zahlen in die Gleichungen einsetzt und für bestimmte Bedingungen eine Lösung bekommt.

Diskretisierung. Der erste Schritt ist eine Analyse der Gleichungen: Gibt es überhaupt eine Lösung? Welche Eigenschaften hat diese? Bilden sich Schwingungen? Oder artet sie in Chaos aus? Danach folgt eine „Dikretisierung“. Langer: „Eine Formel lebt im Kontinuum, der Rechner kann aber nur endlich viele Punkte darstellen.“ Was dabei wesentlich ist: Da es sich immer um Näherungsmethoden handelt, ist eine Abschätzung der Fehler essenziell. Das Ergebnis ist ein System linearer Gleichungen mit Millionen oder sogar Milliarden Dimensionen bzw. Variablen. Diese sind zwar grundsätzlich lösbar – etwa auf dem neuen Supercomputer „Mach“ (siehe Artikel rechts) –, aber das kann sehr rechenaufwendig sein. „Es gibt viele Probleme, die heute numerisch nicht in halbwegs überschaubarer Zeit lösbar sind“, so Kunisch. Daher sind neue Berechnungsmethoden notwendig – deren Entwicklung, wie alle Mathematiker einhellig betonen, ein sehr kreativer Prozess ist. „Die Kreativität besteht darin, neue Techniken für die Lösung von Problemen zu finden, die bisher als unlösbar galten“, sagt Langer. Diese Lösungen bilden auch die Basis für weitere Aufgaben, etwa Optimierungen.

Ein gutes Beispiel, was neue Lösungsverfahren bringen können, ist ein Projekt, das die Linzer Forscher im Auftrag der Europäischen Südsternwarte (ESO) durchführen: Dort sollen die Fluktuationen in der Atmosphäre durch ein ständiges leichtes Verstellen der Spiegel durch „Aktuatoren“ kompensiert werden – und zwar bis zu 3000-mal in der Sekunde. Als „Maßstab“ dafür dient entweder ein heller Stern oder ein sogenannter „künstlicher Leitstern“ – ein starker Laserstrahl, der in den Himmel geschickt wird. Beim derzeit größten ESO-Teleskop in Chile, dem VLT mit einem Spiegeldurchmesser von 8,2 Metern, sind zur Steuerung der Aktuatoren rund 100 Rechnerknoten (CPUs) notwendig. Für das geplante E-ELT mit fast 40 Meter Spiegeldurchmesser wurde in Linz ein schneller Algorithmus entwickelt, für den ein einziger CPU ausreicht – obwohl rund 5000 Aktuatoren im Millisekundentakt gesteuert werden müssen.

Dieses mit 2,25 Millionen Euro dotierte ESO-Projekt ist nicht nur als Anwendung interessant. Auch die Grundlagenforschung – sowohl am Uni-Institut als auch am Ricam – würde davon profitieren, betont Math-Consult-Geschäftsführer Andreas Binder. „Grundlagenforschung fließt in die Anwendung und wieder zurück.“

Derzeit sind die Linzer Mathematiker dabei, ein völlig neues Forschungsfeld zu eröffnen. „Auch die Life Sciences, vor allem die Systembiologie, braucht Mathematik“, erläutert Langer. Und zwar nicht nur in Form von statistischen Methoden („Bioinformatik“), durch die man Gesetzmäßigkeiten in der unermesslichen Datenfülle erkennen will. Vielmehr gebe es auch in der Biologie ein „inverses Problem“: beim Schließen von Gensequenzen auf die phänotypischen Eigenschaften von Lebewesen und umgekehrt. Erst vor drei Wochen fand ein erster Workshop mit den biologischen ÖAW-Schwesterinstituten CeMM, IMBA und GMI in Wien statt. Kunisch: „Die Life Sciences sind derzeit in derselben Situation wie die Mechanik in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts. Hier hat die Mathematik großes Potenzial.“

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("Die Presse", Print-Ausgabe, 11.03.2012)

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15 Kommentare

Die Mathe braucht weitere Operatoren!

Das zu verstehen benötigt maathematische Intelligenz - nicht die Art der Täuschung wie in der Politiik üblich. Schönrederei ist die schlmmste Art der Lüge, weil sie den Lügner auch belügt.

Sollte es nicht...

...statt berechnen eher mathematische Annäherung sagen?

Gast: tob
13.03.2012 09:54
0 1

Gratuliere

Selten dass man so gute Artikel über Wissenschaft liest!

Gast: zen
12.03.2012 14:52
0 1

Aufgabe

Vor einigen Jahren bin ich auf youtube über dieses Video (link unten) gestolpert und habe mich gefragt ob man mathematisch berechnen kann ob es Zufall oder eben nicht Zufall sein kann, dass die im Falle eines Kohlenstoffatoms gezeigten Symbole eines 'schöpferischen Ursprüngsprinzips' (Aum, Swastika, Kumba, Alpha) - welches in allen bedeutenden religiösen philosophien aber auch als ein "Ziel" gilt (Omega) bei bestimmten Betrachtungswinkeln (90° Drehungen?) erkennbar werden.

Fragen an die Mathematiker:
1. Lässt sich diese Frage als mathematische Aufgabe definieren?
2. Wie würde man sie lösen?
3. Was dabei herauskommt würde mich auch interessieren!

http://www.youtube.com/watch?&gl=DE&hl=de&client=mv-google&v=9_1WURAd6VA

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Antwort Teil 1

Im Vorneherein: Ich bin kein Mathematiker, die echten mögen meine Fehler aufzeigen und mir die Verhunzung ihrer schönen Wissenschaft verzeihen. Grundsätzlich könnte man solche Dinge mit dem Bayes’schen Theorem berechnen. Damit beschreibt man die Wahrscheinlichkeit P, dass A unter der Annahme von B zutrifft, die Formel dazu ist: P(A/B) = [P(B/A)*P(A)] / P(B). Man könnte sich also denken
P(A) = P , dass wir ein echtes heiliges Symbol (A) sehen
P(B) = P , dass wir ein Muster (B) sehen, dass wie ein heiliges Symbol aussieht.
Man beachte den Unterschied!
Weiters dann: P(A/B) = P für wir erkennen ein echtes heiliges Symbol in einem symbolartigen Muster.
P(B/A) = P für wir erkennen ein symbolartiges Muster, wo ein heiliges Symbol ist.

Die Schwierigkeit ist, tatsächliche Wahrscheinlichkeiten für diese Dinge zu finden. Zunächst einmal, wenn wir alle Wahrscheinlichkeiten auf 50% setzen, dann kriegen wir 0,5*0,5/0,5* = 0,5, also 50% raus, ziemlich aussagelos und weitab jeglicher statistischen Relevanz.
Fortsetzung unten.

0 2

Re: Antwort Teil 2

Über genauere Werte können wir nur spekulieren und müssen etwas ausschweifen. Menschen sind generell sehr gut im Erkennen von Mustern, z.B. Gesichtsmustern. In Wolken sehen wir Gesichter, im :) ein Gesicht, sogar in meinen Computer-Lautsprechern sehe ich Gesichter. Damit würde ich P(B), also P dafür, dass wir ein gesichtartiges Muster sehen, sehr hoch schätzen. P(A) dagegen ist sehr gering, wenn man die Zahl der möglichen gesichtsartigen Muster mit den tatsächlich zu erkennenden Gesichtern vergleicht. P(B/A) wiederum hoch, weil wo ein echtes Gesicht da ist wird es meistens ein solches Muster erkannt. Jetzt denken Sie sich einen Yogameister, der überall nach heilig aussehenden Mustern sucht, die weitaus einfacher sind als Gesichter, die wir ja schon leicht erkennen. Denken Sie sich uns, die wir vom Yogameister das Muster mit dem echten heiligen Symbol daneben gezeigt kriegen. P(B/A) ist dadurch praktisch 1, P(B) auch, nur P(A) bleibt unbekannt. Die Frage ist also, ist ein überall vorkommender Kringel heilig und hat mein Computer-Lautsprecher wirklich ein Gesicht? Diese Frage zu beantworten überlasse ich Ihnen.

Gast: Linzer Student
11.03.2012 16:37
0 0

Motivation

Da könnte man ja fast glauben, die ganze Mühe die man in Mathe stecken muss, kann mancherorts auch Früchte tragen, und es ist nicht nur zum Sekkieren der armen Studenten - schon klar, was wär wohl ein Tischler ohne seine Säge usw. In diesem Sinne lösen wir fleißig weiter unsere Gleichungen ;-)

ps: super mal was von der JKU zu lesen!

Neue Bescheidenheit?

Hm, vieles ist nicht berechenbar?

Zeitsprung zurück an den Start der Atomindustrie: "Das Restrisiko haben wir berechnet und ist verschwindend klein."

Die Mathematik, reinste aller Wissenschaften, kann nicht alles berechnen. Das sollte immer mal wieder gesagt werden.

Deswegen muss man kein Technikfeind sein sondern nur an Bodenhaftung interessiert.

ps:
Aber bitte nicht wieder wie mit der Chaostherie tun, als ob das Unberechenbare auch unter der Kontrolle der Mathematik ist.


Re: Neue Bescheidenheit?

Das Problem der Atomindustrie ist nicht die Mathematik, auch nicht die Chaostheorie.

Die Entscheidung, welches Risiko tragbar ist und welches nicht, ist eine politische.

Wenn im Schnitt alle 20 Jahre ein Reaktor hochgeht, dann ist das Risiko für einen bestimmten Reaktor in einem bestimmten Jahr tatsächlich verschwindend klein und in vielen anderen Bereichen wäre ein solches Risiko auch akzeptabel.

Also statt Blabla über die Grenzen der Mathematik und Chaostheorie wäre es besser, sich politisch zu engagieren.

4 0

Re: Neue Bescheidenheit?

Eine Berechnung kann nur so gut sein wie die zugrunde liegende Modellannahme. Wie gut Modell (=Formeln) und Wirklichkeit harmonieren, lässt sich nur durch den praktischen Vergleich bewerten.

Was die Atomindustrie betrifft: abgesehen von der Subjektivität der Aussage war die Rechnung möglicherweise richtig, nur das Modell war halt nicht gut genug. Genausogut könnte man mit den heutigen Modellen das Wetter in einem Jahr "berechnen", nur Aussagekraft hat das keine.

Gast: eintreuerLeser
10.03.2012 21:59
3 0

fantastischer Artikel!

Liebe Presse,
bitte schreiben sie mehrmals im Monat solche Artikel. Es ist unser alle Aufgabe die Jugend von diesen Themen zu begeistern.

Mathematik ist die Königin aller Wissenschaften, eine der schönsten Dinge, die man sich vorstellen kann.

Re: fantastischer Artikel!

Ich als Mathematiker lese mir auch immer gerne Artikel zur Mathematik durch, aber ich kann dieses groupiehafte Verhalten mancher gegenüber der Mathematik nicht leiden ("die Königin aller Wissenschaften"). Erstens stuft man damit viele andere Wissenschaften herab, und spätestens seit Gödel ist klar, dass der "Thron" auf dem die Mathematik ruht, sehr wackelige Beine hat...

Antworten Gast: Ggrufti
11.03.2012 11:06
2 0

Re: fantastischer Artikel!

Sie ist nicht nur die Koenigin, sondern auch, zumindest meines Wissens, die einzige exakte Wissenschaft.

Re: Re: fantastischer Artikel!

Pure mathematics consists of such association as, if such and such a proposition ist true of anything, then such and such another proposition ist true of that thing. It is essential not do discuss wether the first proposition is really true, and not to mention what the anything is of which it is supposed to be true ...
If our hypothesis is about anything and not about one or more particular things, then our deductions constitute mathematics. Thus, mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true.
Bertrand Russel

Gast: Wanderer.
10.03.2012 20:37
4 0

Mathematik ist die Basis aller empirisch forschenden Wissenschaften.

Dies gilt für alle Natur-, Sozial- und Wirtschaftswissenschaften und auch Psychologie.


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