Angelos Trickkiste Nr. 106a.
Die Oberfläche eines Quaders wird, wie man weiß, so berechnet: O = 2*(l*b + l*h + b*h), jene eines regelmäßigen Tetraeders besteht aus vier gleichseitigen Dreiecken. Jedes von diesen hat den Flächeninhalt a*a*Wurzel(3)/4, sodass gilt: O= a*a*Wurzel(3). Mein Lieblingskörper (nur in der Mathematik!) ist der Dodekaeder, dessen Oberfläche aus zwölf regelmäßigen Fünfecken gebildet ist. Hier gilt die selten bis niemals benötigte Formel:
O = 3*a*a*Wurzel(25+10*Wurzel[5]).
Bei runden Körpern überlegt man so: Der Zylinder wird von zwei Kreisflächen (r*r*Pi) und einem zusammengerollten Rechteck begrenzt. Dessen Breite = Höhe des Zylinders und dessen Länge = Kreisumfang (also: 2r*Pi).
Daher gilt: O=2*r*r*Pi + 2r*Pi*h. Der Kegel wird aus Basiskreis und Mantel zusammengesetzt. Der Mantel ist ein Kreissektor mit r = Seitenkante (s) und b= Kreisumfang. Eine der Flächenformeln für den Kreissektor lautet A = b*r/2, hier demnach A = s*2r*Pi/2 = r*s*Pi. Die Kugeloberfläche berechnet man so: O = 4*r*r*Pi. Sie ist also genau viermal so groß wie die Fläche eines Großkreises (Kreis durch den Mittelpunkt). Scherzhaft frage ich gern Schüler, wie groß dann die Oberfläche der Halbkugel ist. Es gibt zwei richtige Antworten, die niemals unmittelbar gegeben werden: Entweder 3*r*r*Pi, falls es sich um eine volle Kugel handelt (da die Schnittfläche dazukommt) oder 4*r*r*Pi, wenn es sich um die unendlich dünne Hülle handelt, deren Oberfläche ja außen und innen (nicht zu vergessen) jeweils gleich ist.
Frage: Wie lang ist die Kante eines Würfels, dessen Volumen den gleichen Wert wie die Oberfläche hat?
("Die Presse", Print-Ausgabe, 15.11.2014)