Angelos Trickkiste Nr. 122 a.
Gegeben sind vier Zahlen: a, b, c, d. Mit diesen kann man sechs verschiedene Paarungen bilden: (a,b), (a,c), (a,d), (b,c), (b,d), (c,d). Die einzelnen Produkte dieser Paare, also a*b, a*c usw. (nicht unbedingt in der Reihenfolge, wie gerade angeführt) lauten: 2, 3, 4, 5, 6 – wie lautet das sechste Produkt?
Da jede der Zahlen a, b, c und d dreimal in einem Produkt vorkommt, die Zahl 5 aber nur die Teiler 1 und 5 besitzt, müssen Zahlen mit einer Nachkommastelle mitspielen. Weil zwei solcher Zahlen aber keine ganze Zahl als Produkt ergeben, kann die Zahl 5 nicht vorkommen. Daher müssen Wurzeln mitspielen. Das kgV der Produkte ist 60, somit könnte jede der Zahlen die Wurzel (= W) 60 enthalten, durch Probieren sieht man, dass W(10) genügt und „sauberer“ ist. So gilt: a = W(10)/2, b = W(10), c = 2*W(10)/5 und d = 3*W(10)/5. Somit ist das fehlende Produkt c*d = 2,4.
Eine elegante Lösung von Wolfgang Laun beruht darauf, dass mit den sechs Produkten ab, ac, ad, bc, bd und cd das Produkt abcd auf drei verschiedene Arten gebildet werden kann: ab*cd, ac*bd und ad*bc. Hier sieht man, dass nur 2*6 und 3*4 aus den bekannten sechs Produkten gepaart werden können, um zum gleichen Wert, nämlich 12, zu kommen; daher ist das sechste Produkt 12/5.
Es existiert für a, b, c, d ein zweites Quadrupel, das ebenfalls auf die Lösung 2,4 führt – finden Sie es?
Stefan Huber hatte eine alternative Idee: Das fehlende Produkt lautet 1, die Zahlen (a, b, c, d) = (1, 2, 3, 4) – und alles wird modulo 7 gerechnet!
Lösung: Zähler: (gissierD<) lezruW, Nenner: 2, 3, 5, 5/2.
("Die Presse", Print-Ausgabe, 01.10.2016)