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KommentierenAus der Schulzeit wissen viele noch: „Jede Zahl hoch null ist eins!“ Man kann es sich so vorstellen: x = x.x.x. Dividiert man beide Seiten durch x, erhält man x = x.x. Die Hochzahl links wird also um eins kleiner; eine nochmalige Division liefert daher x1 = x und weiter: x0 = 1, da ja x:x auf der rechten Seite 1 ergibt.
Doch was ist mit 00? Einerseits gilt, 0 hoch jede Zahl ergibt 0, andererseits hat jede Zahl hoch 0 den Wert 1. Was ist eine sinnvolle Definition?
Eine Antwort darauf liefert die Regel von De L'Hospital, die besagt, dass unter gewissen Voraussetzungen (die hier erfüllt sind), ein Bruch, der gegen den Wert 0/0 oder ∞/∞ geht, das gleiche Ergebnis liefert wie der Bruch, der aus den jeweils ersten Ableitungen von Zähler und Nenner entsteht.
Aufgabe ist es also, 00 in einen Bruch umzuwandeln. Zuerst logarithmieren wir und nehmen den Wert gleich wieder „e hoch“. Das ist die Umkehrfunktion und verändert daher nichts. Danach betrachten wir vorerst nur den Exponenten, der ja ein Produkt ist, und verwandeln ihn in einen Doppelbruch:(*) xx = ex.ln(x). Die Hochzahl x.ln(x) = ln(x)/(1/x).
Für x–>0 hat dieser Bruch den Wert ∞/∞, daher kann man De L'Hospital anwenden. Zähler abgeleitet, ergibt (1/x), Nenner abgleitet, liefert (–1/x2). Den entstehenden Bruch (1/x)/(–1/x2) erweitert man mit x und erhält x/(–1). Wenn x gegen 0 geht, bekommt dieser Bruch den Wert 0. Somit ist die Hochzahl also 0. Eingesetzt in (*) ergibt es: 00 = e0. Und wie schon gezeigt, gilt: e0 = 1. Somit ist 00 = 1.
Aufgabe: Bilden Sie aus zwei Nullen und drei Fünfen sowie beliebigen Rechenzeichen den Wert 32.
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("Die Presse", Print-Ausgabe, 09.06.2012)
