Vorige Woche hatte ich Ihnen zwei Zahlenreihen gegenübergestellt. Die erste begann mit 3, 7, 31, 127, 8191, 131.071, 524.287, 2.147.483.647 usw. Die zweite mit 6, 28, 496, 8128, 33.550.336, 8.589.869.056, 137.438.691.328 usw. Was haben beide Reihen miteinander zu tun?
Wie schon erläutert, ist die erste Reihe die Reihe jener Primzahlen, die auch als Zweierpotenz minus 1 dargestellt werden können, bei der der Exponent ebenfalls eine Primzahl ist. Man kann die erste Reihe also auch so schreiben: 221, 231, 251, 271, 2131, 2171, 2191, 2311 usw. Die zweite Reihe beruht auf den Exponenten (n) der ersten Reihe, und zwar nach der Formel 2n1(2n1). Also zunächst mit n2: 221 mal 22–1, was bekanntlich 6 ergibt, dann mit n3 ergibt 28, n5 ergibt 496 usw.
Diese gibt uns die „vollkommenen Zahlen“, also jene, die gleich groß sind wie die Summe ihrer Teiler (so ist etwa 28 teilbar durch 1, 2, 4, 7 und 14, was addiert wieder 28 ergibt). Man hat bisher nur 47 vollkommene Zahlen gefunden, und man weiß nicht, wie viele es noch gibt. Nachprüfen ist schwer, weil sie sehr schnell ziemliche Größe annehmen. Die zehnte vollkommene Zahl liegt schon bei über 171 Oktilliarden, hat also 54 Ziffern. Man weiß übrigens auch nicht, ob es eine ungerade vollkommene Zahl gibt, gefunden hat man jedenfalls noch keine.
Der spätantike Mathematiker Boëthiushat übrigens die vollkommene Zahlen sehr geschätzt: Sie seien wie die Tugend, indem sie das rechte Maß, die Mitte zwischen Übermaß und Mangel, bewahren, äußerst selten anzutreffen sind und sich einer festen Ordnung unterwerfen...
Aber nun zu etwas ganz anderem, endlich weg von all der Zahlentheorie. Es handelt sich um die einfachste (!) Aufgabe aus dem höchst vergnüglichen Buch „Mathematische Leckerbissen“ von C. Stanley Ogilvy, das ich Heinz Vetter verdanke. (Danke!) Sie müssen einen Wert x erraten, der irgendwo zwischen 9 und 11 liegt, und müssen für jedes Prozent Irrtum (von x) eine Strafe zahlen: Sie sind kein Prophet und fahren daher die Strategie der Schadensminimierung und geben einen Betrag y an, bei dem die größtmögliche Strafe am kleinsten ist. Wie lautet Ihr y? mip