Ein Beweis, für den der Computer ein paar Monate braucht

Linzer Mathematikern gelang es, eine Vermutung über „planare Partitionen" zu beweisen, aber dies mit einigem Aufwand. Ausgedruckt würde die Hilfsgleichung rund eine Million A4-Seiten füllen.

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(c) EPA (Joseph Martinez)

Wirklich elegante Beweise bewahre Gott in einem eigenen Buch auf, sagte der große und eigenwillige Mathematiker Paul Erdös einmal; seither spricht man in seiner Zunft mit Andacht von einem „proof from The Book". Das tun auch die Linzer Mathematiker um Manuel Kauers, denen ein Beweis gelungen ist, der sicher nicht in diese Kategorie gehört; sie teilen ihn selbst in eine „Telemachiade", eine „Odyssee" und eine „Heimkehr" („Nostos").


Zwar ist die Publikation (Pnas, 24. 1.) nur vier Seiten dick, dort wird aber auf die Linzer Website (www.risc.jku.at/people/ckoutsch/qtspp) verwiesen - und darauf, dass der Beweis auch aus „computational reasons" interessant sei: Er lässt sich nur mit Hilfe eines Computers führen, und dieser braucht - trotz aufwendiger Optimierung der Programme - „nur ein paar Monate" dafür. „Wenn man das machte wie im Lehrbuch, dann würde das hunderte Jahre dauern", sagte Kauers laut APA. Es ist zwar die zu beweisende Gleichung nur ganz kurz, dafür ist eine Hilfsgleichung umso länger: Ausgedruckt würde sie rund eine Million A4-Seiten füllen.

Türme auf einem Schachbrett

Was wurde denn bewiesen? Eine Vermutung, die planare Partitionen betrifft. Das ist etwas recht Anschauliches: Man baut auf einer schachbrettartigen Grundfläche Türme aus Würfeln, und zwar so, dass kein Turm höher als die Länge der Grundfläche und auch nicht höher als ein Turm dahinter oder links davon ist. Die Frage für Mathematiker ist: Wie viele Anordnungen von Türmen sind dann auf einer bestimmten Grundfläche möglich? Das ist relativ leicht zu beantworten. Schwieriger ist es, wenn die Lösung bestimmte Symmetrien aufweisen muss. 1983 formulierten US-Mathematiker eine Vermutung über die Anzahl von „total symmetrischen planaren Partitionen", die bisher unbewiesen blieb, obwohl sich, wie's im Artikel von Kauers et al. heißt, „die größten Köpfe der enumerativen Kombinatorik" daran versuchten.


Nun ist es also gelungen, aber ganz und gar nicht kurz und elegant. Gibt es auch für diese Vermutung einen „proof from The Book", der noch zu finden ist? Das sei sehr wahrscheinlich, schreiben die Linzer im „Epilog" ihrer Arbeit, „aber es ist auch möglich, dass es keinen gibt. Und obwohl wir sicher sind, dass unser Beweis nicht der kürzestmögliche ist, kann es gut sein, dass der kürzestmögliche Beweis noch sehr lang ist und auch noch anspruchsvollste Computerrechnungen brauchen würde". tk

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